Στον κάδο του μίξερ ή με ένα μίξερ χειρός με τα σύρματα χτυπάμε το βούτυρο με τη ζάχαρη για 10 λεπτά περίπου μέχρι να ασπρίσουν.

Στη συνέχεια ρίχνουμε έναν-έναν τους κρόκους και χτυπάμε μέχρι να ενσωματωθούν στο υπόλοιπο μείγμα.

Κατόπιν ρίχνουμε σιγά -σιγά, το κονιάκ.

Προσθέτουμε το baking powder, τις βανίλιες, το ξύσμα λεμόνι και αρχίζουμε να ρίχνουμε σιγά -σιγά το αλεύρι, μέχρι να κάνουμε ένα ζυμάρι που δεν κολλάει.

Εν τω μεταξύ, με το μίξερ χειρός, με τα σύρματα, χτυπάμε τα ασπράδια σε μαρέγκα.

Αφού ασπρίσουν, αρχίζουμε να ρίχνουμε σιγά- σιγά στη μαρέγκα τη ζάχαρη άχνη.

Χτυπάμε μέχρι να μην πέφτει η μαρέγκα από τα σύρματα του μίξερ.
Στη συνέχεια, με μια σπάτουλα ανακατεύουμε απαλά και ρίχνουμε την πούδρα του αμυγδάλου που έχουμε ανακατέψει με το ξύσμα λεμονιού.

Κατόπιν στρώνουμε το ζυμάρι μας στο ταψί ή στα φορμάκια. Προσοχή, όχι πολύ χοντρό. Το δουλεύουμε με τα χέρια μας, ώστε να απλωθεί ομοιόμορφα.

Τοποθετούμε ένα περγαμόντο σε κάθε φορμάκι (η δόση βγαίνει σε 25 περίπου φορμάκια), ή ψιλοκομμένα σε όλο το ταψί (για ταψί 32cm).
Βάζουμε μια κουταλιά της σούπας γέμιση σε κάθε φορμάκι, χωρίς να τα παραγεμίζουμε, επειδή φουσκώνει το μείγμα στο ψήσιμο.
Πασπαλίζουμε με φιλέ αμύγδαλο.

Ψήνουμε την πίτα στους 190° στον αέρα περίπου για 30 λεπτά μέχρι να ροδίσει. Δεν ανοίγουμε τον φούρνο κατά τη διάρκεια του ψησίματος.